Mouvements des satellites et de planètes

 

 

Le télescope spatial Hubble I. Mouvement circulaire uniforme

1. Définition

On dit qu’un solide a un mouvement circulaire uniforme, dans un référentiel donné, si sa trajectoire est un cercle et si la valeur de sa vitesse est constante.

 

2. Vitesse

Remarques :

*    Le vecteur vitesse v MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiqadAhagaWcaaaa@393F@  est tangent à la trajectoire.

*    Le vecteur vitesse v MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiqadAhagaWcaaaa@393F@  n’est pas constant car sa direction n’est pas constante.

<Contenu manuscrit>

 

Repère de Frenet :

Soit un vecteur unitaire u t MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWG0baabeaaaOGaay51Gaaaaa@3C0F@  orienté dans le sens positif de la tangente à la trajectoire.

Soit un vecteur unitaire u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYdNi=BH8wipC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeaacaGaaiaabaqaamaabaabaaGcbaWaa8HaaeaacaWG1bWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@357D@  normal à la trajectoire et orienté vers le centre O de celle-ci.

( u t , u n ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaacIcadaWhcaqaaiaadwhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaaakiaawEniaiaacYcadaWhcaqaaiaadwhadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaaakiaawEniaiaacMcaaaa@41EE@  est appelé «Â repère de Frenet »

Dans le repère de Frenet, le vecteur vitesse s’écrit :

v =v. u t  soit  v { v t =v v n =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaaGPaVlaaykW7daWhcaqaaiaadAhaaiaawEniaiabg2da9iaadAhacaGGUaWaa8HaaeaacaWG1bWaaSbaaSqaaiaadshaaeqaaaGccaGLxdcacaqGGaGaae4Caiaab+gacaqGPbGaaeiDaiaabccadaWhcaqaaiaadAhaaiaawEniaiaaykW7caaMc8+aaiqaaqaabeqaaiaadAhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccqGH9aqpcaWG2baabaGaamODamaaBaaaleaacaWGUbaabeaakiabg2da9iaaicdaaaGaay5EaaGaaGPaVlaaykW7caaMc8oaaaaa@5D75@

 

3.  Vecteur accélération

<Contenu manuscrit>On admettra que dans le repère de Frenet, le vecteur accélération s’écrit :

a = a t . u t +a n . u n  avec{ a t = dv dt a n = v 2 r MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=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@6731@

 

Remarque : a = dv dt . u t + v 2 r . u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaaykW7daWhcaqaaiaadggaaiaawEniaiabg2da9maalaaabaGaamizaiaadAhaaeaacaWGKbGaamiDaaaacaGGUaWaa8HaaeaacaWG1bWaaSbaaSqaaiaadshaaeqaaaGccaGLxdcacaqGRaWaaSaaaeaacaWG2bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamOCaaaacaqGUaWaa8HaaeaacaqG1bWaaSbaaSqaaiaab6gaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@4DE9@

Cas du mouvement circulaire uniforme

Dans un mouvement circulaire uniforme, dv dt =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadAhaaeaacaWGKbGaamiDaaaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3DC8@  car v=cte MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadAhacqGH9aqpcaWGJbGaamiDaiaadwgaaaa@3CFE@  et a = v 2 r . u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaaGPaVlaaykW7caaMc8+aa8HaaeaacaWGHbaacaGLxdcacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadAhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacaWGYbaaaiaab6cadaWhcaqaaiaabwhadaWgaaWcbaGaaeOBaaqabaaakiaawEniaiaaykW7caaMc8UaaGPaVdaaaaa@4CD4@ .

Le vecteur accélération est normal à la trajectoire et de valeur a= v 2 r MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaqaaeaadaaakeaacaWGHbGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG2bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamOCaaaaaaa@324B@ .

 

 

II. Satellite en orbite circulaire

1. Loi de gravitation universelle

Deux corps A et B, de masses respectives mA et mB, à répartition sphérique de masse (en abrégé RSDM), sont soumis à des forces d’attraction :

F A/B = F B/A = G. m A . m B r 2 . u AB   MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaqaaeaadaaakeaadaqjEaqaamaaFiaabaGaamOramaaBaaaleaacaWGbbGaai4laiaadkeaaeqaaaGccaGLxdcacqGH9aqpcqGHsisldaWhcaqaaiaadAeadaWgaaWcbaGaamOqaiaac+cacaWGbbaabeaaaOGaay51GaGaeyypa0JaeyOeI0YaaSaaaeaacaWGhbGaaiOlaiaad2gadaWgaaWcbaGaamyqaaqabaGccaGGUaGaamyBamaaBaaaleaacaWGcbaabeaaaOqaaiaadkhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaaiOlamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWGbbGaamOqaaqabaaakiaawEniaiaabccaaaaaaa@494D@

avec { F A/B = F B/A :  forces d'attractions existant entre les corps A et B (en N) r: distance séparant les centres des corps A et B (en m) G: constante de gravitation universelle (G=6,67× 10 -11 N. m 2 .k g 2 ) u AB : vecteur unitaire orienté de A vers B MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaceaaeaqabeaacaWGgbWaaSbaaSqaaiaadgeacaGGVaGaamOqaaqabaGccqGH9aqpcaWGgbWaaSbaaSqaaiaadkeacaGGVaGaamyqaaqabaGccaqG6aGaaeiiaiaabccacaqGMbGaae4BaiaabkhacaqGJbGaaeyzaiaabohacaqGGaGaaeizaiaabEcacaqGHbGaaeiDaiaabshacaqGYbGaaeyyaiaabogacaqG0bGaaeyAaiaab+gacaqGUbGaae4CaiaabccacaqGLbGaaeiEaiaabMgacaqGZbGaaeiDaiaabggacaqGUbGaaeiDaiaabccacaqGLbGaaeOBaiaabshacaqGYbGaaeyzaiaabccacaqGSbGaaeyzaiaabohacaqGGaGaae4yaiaab+gacaqGYbGaaeiCaiaabohacaqGGaGaaeyqaiaabccacaqGLbGaaeiDaiaabccacaqGcbGaaeiiaiaabIcacaqGLbGaaeOBaiaabccacaqGobGaaeykaaqaaiaadkhacaGG6aGaaeiiaiaabsgacaqGPbGaae4CaiaabshacaqGHbGaaeOBaiaabogacaqGLbGaaeiiaiaabohacaqGPdGaaeiCaiaabggacaqGYbGaaeyyaiaab6gacaqG0bGaaeiiaiaabYgacaqGLbGaae4CaiaabccacaqGJbGaaeyzaiaab6gacaqG0bGaaeOCaiaabwgacaqGZbGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaae4CaiaabccacaqGJbGaae4BaiaabkhacaqGWbGaae4CaiaabccacaqGbbGaaeiiaiaabwgacaqG0bGaaeiiaiaabkeacaqGGaGaaeikaiaabwgacaqGUbGaaeiiaiaab2gacaqGPaaabaGaam4raiaabQdacaqGGaGaae4yaiaab+gacaqGUbGaae4CaiaabshacaqGHbGaaeOBaiaabshacaqGLbGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeiiaiaabEgacaqGYbGaaeyyaiaabAhacaqGPbGaaeiDaiaabggacaqG0bGaaeyAaiaab+gacaqGUbGaaeiiaiaabwhacaqGUbGaaeyAaiaabAhacaqGLbGaaeOCaiaabohacaqGLbGaaeiBaiaabYgacaqGLbGaaeiiaiaabIcacaqGhbGaaeypaiaabAdacaqGSaGaaeOnaiaabEdacqGHxdaTcaqGXaGaaeimamaaCaaaleqabaGaaeylaiaabgdacaqGXaaaaOGaamOtaiaac6cacaWGTbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaaiOlaiaadUgacaWGNbWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIYaaaaOGaaiykaaqaamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWGbbGaamOqaaqabaaakiaawEniaiaabQdacaqGGaGaaeODaiaabwgacaqGJbGaaeiDaiaabwgacaqG1bGaaeOCaiaabccacaqG1bGaaeOBaiaabMgacaqG0bGaaeyyaiaabMgacaqGYbGaaeyzaiaabccacaqGVbGaaeOCaiaabMgacaqGLbGaaeOBaiaabshacaqGPdGaaeiiaiaabsgacaqGLbGaaeiiaiaabgeacaqGGaGaaeODaiaabwgacaqGYbGaae4CaiaabccacaqGcbaaaiaawUhaaaaa@0309@

 

<Contenu manuscrit>2. Etude dynamique

On étudie le mouvement d’un satellite A de masse m considéré comme ponctuel. Le satellite décrit, dans le référentiel astrocentrique, une trajectoire circulaire de centre O (centre de l’astre de masse M).

Le satellite est soumis à la force de gravitation F MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOraaGaay51Gaaaaa@3AB1@  exercée par l’astre :

F = G.m.M r 2 . u OA MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiqadAeagaWcaiabg2da9maalaaabaGaeyOeI0Iaam4raiaac6cacaWGTbGaaiOlaiaad2eaaeaacaWGYbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiaac6cadaWhcaqaaiaadwhadaWgaaWcbaGaam4taiaadgeaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@4620@

<Contenu manuscrit>

D’après la deuxième loi de Newton, F =m. a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamOraaGaay51GaGaeyypa0JaamyBaiaac6cadaWhcaqaaiaadggaaiaawEniaaaa@3FF5@  soit G.m.M r 2 . u OA =m. a MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaam4raiaac6cacaWGTbGaaiOlaiaad2eaaeaacaWGYbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiaac6cadaWhcaqaaiaadwhadaWgaaWcbaGaam4taiaadgeaaeqaaaGccaGLxdcacqGH9aqpcaWGTbGaaiOlaiqadggagaWcaaaa@46F2@

On en déduit l’accélération du satellite : a = G.M r 2 . u OA MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiqadggagaWcaiabg2da9maalaaabaGaam4raiaac6cacaWGnbaabaGaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccaGGUaWaa8HaaeaacaWG1bWaaSbaaSqaaiaad+eacaWGbbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@43AA@

Remarque : Dans le repère (A, u t , u n ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaacIcacaWGbbGaaiilamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWG0baabeaaaOGaay51GaGaaiilamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaOGaay51GaGaaiykaaaa@4365@ , u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@3C09@  a la même direction que OA MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4taiaadgeaaiaawEniaaaa@3B80@  et u n = u OA MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaOGaay51GaGaeyypa0JaeyOeI0Yaa8HaaeaacaWG1bWaaSbaaSqaaiaad+eacaWGbbaabeaaaOGaay51Gaaaaa@427A@ .

Finalement l’accélération s’écrit a = G.M r 2 . u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaaGPaVlaaykW7ceWGHbGbaSaacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadEeacaGGUaGaamytaaqaaiaadkhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaaiOlamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaOGaay51GaGaaGPaVlaaykW7caaMc8oaaaaa@4B01@

 

Nature du mouvement

Dans le cas général, a = dv dt . u t + v 2 r . u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaaykW7daWhcaqaaiaadggaaiaawEniaiabg2da9maalaaabaGaamizaiaadAhaaeaacaWGKbGaamiDaaaacaGGUaWaa8HaaeaacaWG1bWaaSbaaSqaaiaadshaaeqaaaGccaGLxdcacaqGRaWaaSaaaeaacaWG2bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamOCaaaacaqGUaWaa8HaaeaacaqG1bWaaSbaaSqaaiaab6gaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@4DE9@ . Or dans notre cas, a = G.M r 2 . u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiqadggagaWcaiabg2da9maalaaabaGaam4raiaac6cacaWGnbaabaGaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccaGGUaWaa8HaaeaacaWG1bWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@4303@ , ce qui impose dv dt =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamizaiaadAhaaeaacaWGKbGaamiDaaaacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3DC8@  et v=cte MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadAhacqGH9aqpcaWGJbGaamiDaiaadwgaaaa@3CFE@ . Le mouvement est uniforme.

Dans l’approximation d’une trajectoire circulaire, le mouvement d’un satellite est uniforme.

 

Le système solaire (vue d'artiste)Vitesse du satellite :

a = v 2 r u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaamyyaaGaay51GaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG2bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamOCaaaadaWhcaqaaiaadwhadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaaakiaawEniaaaa@429E@ . On en déduit :

G.M r 2 . u n = v 2 r . u n MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaqaaeaadaaakeaadaWcaaqaaiaadEeacaGGUaGaamytaaqaaiaadkhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaaiOlamaaFiaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaaOGaay51GaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG2bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamOCaaaacaGGUaWaa8HaaeaacaWG1bWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaaGccaGLxdcaaaa@3EC1@

G.M r 2 = v 2 r MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaqaaeaadaaakeaadaWcaaqaaiaadEeacaGGUaGaamytaaqaaiaadkhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG2bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamOCaaaaaaa@35AF@

v= G.M r MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgarqqtubsr4rNCHbGeaGqipCI8VfYBH8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeaabaqaaeaadaaakeaadaqjEaqaaiaaykW7caaMc8UaamODaiabg2da9maakaaabaWaaSaaaeaacaWGhbGaaiOlaiaad2eaaeaacaWGYbaaaaWcbeaakiaaykW7caaMc8UaaGPaVdaaaaa@3AE5@

 

La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite.

 

Période de révolution

T= 2πr v MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadsfacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaikdacqaHapaCcaWGYbaabaGaamODaaaaaaa@3E8B@  soit T 2 = 4 π 2 r 2 v 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadsfadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaisdacqaHapaCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGYbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamODamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaaaaa@424F@

On en déduit T 2 = 4 π 2 r 2 G.M r = 4 π 2 r 3 G.M MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadsfadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaisdacqaHapaCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGYbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaWaaSaaaeaacaWGhbGaaiOlaiaad2eaaeaacaWGYbaaaaaacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaisdacqaHapaCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGYbWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaaGcbaGaam4raiaac6cacaWGnbaaaaaa@4C81@  et finalement T= 4 π 2 r 3 G.M MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaaGPaVlaaykW7caWGubGaeyypa0ZaaOaaaeaadaWcaaqaaiaaisdacqaHapaCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGYbWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaaGcbaGaam4raiaac6cacaWGnbaaaaWcbeaakiaaykW7caaMc8UaaGPaVdaaaaa@49EC@

 

La période ne dépend pas de la masse du satellite.

 

 

IV. Lois de Kepler

Première loi de Kepler (loi des orbites)

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le centre du Soleil est l’un des foyers.

Video: Animation du mouvement d’un satellite satellite

 

Deuxième loi de Kepler (loi des aires)

Le vecteur SP MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaFiaabaGaam4uaiaadcfaaiaawEniaaaa@3B93@  qui relie le centre du Soleil à celui de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Video: Animation deuxième loi de Kepler kepler3

 

Troisième loi de Kepler (loi des périodes)

 

D’près le paragraphe II. 2. T 2 = 4 π 2 r 3 G.M MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadsfadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaisdacqaHapaCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGYbWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaaGcbaGaam4raiaac6cacaWGnbaaaaaa@42BC@  soit T 2 r 3 = 4 π 2 G.M MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamivamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaadkhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaI0aGaeqiWda3aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaam4raiaac6cacaWGnbaaaaaa@42CC@ .

Or le rapport 4 π 2 G.M MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaaGinaiabec8aWnaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaadEeacaGGUaGaamytaaaaaaa@3DFF@  ne dépend que de la masse M de l’astre et est donc constant pour un astre donné, soit T 2 r 3 =k= 4 π 2 G.M MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamivamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaadkhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaaaOGaeyypa0Jaam4Aaiabg2da9maalaaabaGaaGinaiabec8aWnaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaadEeacaGGUaGaamytaaaaaaa@44C2@

Dans le cas d’une orbite elliptique, le carré de la période de révolution T d’une planète est proportionnel au cube de la longueur L du demi-axe de son orbite.

T 2 L 3 =k= 4 π 2 G.M MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKfMBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8WjY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabaGaaiaacaqabeaadaabauaaaOqaamaaL4babaGaaGPaVlaaykW7daWcaaqaaiaadsfadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacaWGmbWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaaaakiabg2da9iaadUgacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaisdacqaHapaCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacaWGhbGaaiOlaiaad2eaaaGaaGPaVlaaykW7caaMc8oaaaaa@4C9A@

 

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